開平法

　化学や物理で、有効数字を使いますが、同じように考えると、質問の通り、$18.09$ が妥当だと思います。ただ、この問題は「開平法を小数第2桁まで適用しなさい」という趣旨の問題だったので、$18.08$ が出た段階で開平法は止めてしまって構わないということなので、$18.08$ が正解です。
　有効数字について補足すると、例えば「有効数字3桁」で $x=4.70$ と表記されていた場合、正しくは $4.695\leqq x<4.705$ となります。「有効数字2桁」で $x=4.7$ と表記されていた場合、正しくは $4.65\leqq x<4.75$ となります。化学や物理の世界では、「ピタリ正確に測定すること」は事実上不可能なので、誤差の取り扱いに関して上述の有効数字のような考え方をよく使います。一方、数学は誤差を $\varepsilon$ やランダウの記号を用いて表現することが多いです。例えば、$\sqrt{2}=1.41+\varepsilon$ のように、誤差は「誤差」として残します。
　とどのつまり、（少なくとも中高の）数学は、あまり誤差を評価する機会がありませんので、上記の議論もあまり気にせず動画を作りましたが、質問をいただいて「確かに」と思いました。ありがとうございました。ちなみに数学で「評価する」と言えば、不等式で抑えることを僕は想像します。

　これは、次の意味になります。
$f(x)=x^2-327.2$ を微分して、導関数 $f'(x)=2x$ が得られる。
つまり、$’$ がついた $f'(x)$ は、$f(x)$ を微分して得られるもの $=$ $f(x)$ の導関数 を表します。残る疑問は、「微分するとは何か」です。関数 $f(x)$ の $x$ から $x+h$ の変化の割合を $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$ と表します。例えば、ネコ太くんはさっき書いた規則にしたがって進むとして、$20$ 秒 から $20.1$ 秒の平均の速さは $\dfrac{f(20+0.1)-f(20)}{(20+0.1)-20}=\dfrac{76.81-72.8}{(20+0.1)-20}(=\dfrac{進んだ距離}{進んだ時間})=40.1$ m/秒です（mは適当に単位付けました）。
　微分するとは、$\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$ を求めることです。先ほど登場した $h$ を限りなく $0$ に近づける、という意味です。ネコ太くんの具体例で想像してください。$20$ 秒 から $20.0000000000…000001$ 秒の平均の速さを求めている…ネコ太くんの $20$ 秒の瞬間をカメラで捉えているような感じです。それは限りなく $40$ m/秒に近づいていきます。
　一般に、$f(x)=x^n$ を微分すると $f'(x)=nx^{n-1}$ が得られます。

しません。ただ、収束するための必要十分条件は分かりません。すいません。